Issue |
Mechanics & Industry
Volume 13, Number 2, 2012
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Page(s) | 97 - 110 | |
DOI | https://doi.org/10.1051/meca/2012009 | |
Published online | 18 July 2012 |
A simple damage-gradient enhanced elastoplastic formulation and its numerical implementation
Formulation et traitement numérique d’un modèle élastoplastique à gradient d’endommagement
1
ICD/LASMIS, STMR UMR-CNRS 6279, University of Technology of
Troyes, 12 rue Marie
Curie, BP 2060,
10000
Troyes Cedex,
France
2
LAMOMS, Université Mouloud Mammeri Tizi Ouzou,
BP 17, Route de Hasnaoua, Tizi Ouzou
15000,
Algérie
⋆ Corresponding author:
almansbm@ummto.dz
Received:
7
August
2011
Accepted:
11
April
2012
This paper presents a ductile damage-gradient based nonlocal and fully coupled
elastoplastic constitutive equations by adding a Helmholtz equation to regularize the
initial and boundary value problem (IBVP) exhibiting some damage induced softening. First,
a thermodynamically-consistent formulation of gradient-regularized plasticity fully
coupled with isotropic ductile damage and accounting for mixed non linear isotropic and
kinematic hardening is presented. For the sake of simplicity, only a simplified version of
this model based on von Mises isotropic yield function and accounting for the single
nonlinear isotropic hardening is studied and implemented numerically using an in house FE
code. An additional partial differential equation governing the evolution of the nonlocal
isotropic damage is added to the equilibrium equations and the associated weak forms
derived to define the IBVP (initial and boundary value problem). After the time and space
discretization, two algebraic equations: one highly nonlinear associated with the
equilibrium equation and the second purely linear associated with the damage non locality
equation are obtained. Over a typical load increment, the first equation is solved
iteratively thanks to the Newton-Raphson scheme and the second equation is solved directly
to compute the nonlocal damage at each node. All the constitutive equations are “strongly” affected by
this nonlocal damage variable transferred to each integration point. Some applications
show the ability of the proposed approach to obtain a mesh independent solution for a
fixed value of the length scale parameter. Comparisons between fully local and nonlocal
solutions are given.
Résumé
Dans cet article, nous présentons la régularisation d’un modèle élastoplastique à
écrouissage isotrope non-linéaire couplé à un endommagement ductile isotrope non local
solution d’une équation de Helmholtz en gradient d’endommagement. Dans un premier temps,
nous présentons la formulation thermodynamique du modèle élastoplastique à écrouissages
cinématique et isotrope non-linéaires couplé à l’endommagement non local. Par simple souci
d’abréviation, une version simplifiée de ce modèle basée sur le critère de von Mises avec
un écrouissage purement isotrope non-linéaire couplé à l’endommagement non local est
traité numériquement. Une équation différentielle aux dérivées partielles régissant la non
localité de l’endommagement est ajoutée à l’équation d’équilibre pour en déduire deux
formes variationnelles faibles définissant le problème aux valeurs initiales et aux
limites associé. Après discrétisation spatiale par EF (éléments-finis) et temporelle par
DF (différences finies) un système algébrique à deux équations matricielles l’une
non-linéaire associée à l’équilibre et l’autre linéaire associée à la non localité de
l’endommagement est obtenu. Sur chaque incrément de temps, la résolution de l’équation
d’équilibre se fait itérativement en utilisant un schéma de Newton-Raphson, alors que la
résolution de l’équation de non localité se fait d’une manière directe en calculant une
variable nodale à chaque nœud du maillage. Cette variable non locale est alors
transférée aux points de Gauss pour les besoins du couplage comportement-endommagement.
Quelques applications sont présentées pour montrer l’indépendance de la solution vis-à-vis
de la taille du maillage et une comparaison entre les solutions obtenues par les modèles
local et non local est systématiquement faite.
Key words: Elastoplasticity / isotropic hardening / nonlocal damage / damage-behavior coupling / damage gradient / numerical integration / FEM
Mots clés : Élastoplasticité / écrouissage / endommagement non local / couplage comportement-endommagement / gradient d’endommagement / intégration numérique / MEF
© AFM, EDP Sciences 2012
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