Least action criteria for blind separation of structural modes

Principes de moindre action pour la séparation aveugle de modes

¹ Laboratoire Vibrations Acoustique, University of Lyon, 69621 Villeurbanne, France
² Bruel & Kjaer Sound and Vibration Measurement A/S, Skodsborgvej 307, 2850 Naerum, Denmark

^a Corresponding author: jerome.antoni@insa-lyon.fr

Received: 9 August 2013
Accepted: 20 December 2013

Abstract

It was recently shown that blind source separation (BSS), as originally developed in the signal processing community, can be used in operational modal analysis to separate the responses of a structure into its individual modal contributions. This, in turn, allows the application of simple single-of-degree-freedom techniques to identify the modal parameters of interest. Several publications have recently attempted to give a posteriori physical interpretations to BSS – as initially developed in telecommunication signal processing – when applied to the field of structural dynamics. This paper proposes to follow the route the other way round. It shows that several separation criteria purposely dedicated to operational modal analysis can be deduced from general physical considerations. Three such examples are introduced, based on very different properties that uniquely characterise a structural mode. The first criterion, coined the “principle of shortest envelope”, conjectures that the envelope of a modal response has, among all possible envelopes, the shortest length. That such a principle leads to the governing differential equation of a single-degree-of-freedom oscillator is proved from calculus of variation. The second criterion, coined the “principle of minimum spectral variance”, conjectures that the frequency spectrum of a structural mode is maximally concentrated around its central frequency. Finally, the third criterion, coined the “principle of least spectral complexity”, states that a structural mode has the lowest possible entropy in the frequency domain. All three criteria can be expressed in terms of a mixing matrix whose columns contain the unknown mode shapes. The recovery of the latter is then trivially achieved by minimising the criteria. Extensive simulations show that the proposed criteria lead to figures of merit very similar to those of the state-of-the-art, while at the same time providing physical insight that other algorithms issued form the signal processing community may dramatically lack.

Résumé

Des recherches récentes ont montré que certaines méthodes de séparation aveugle de sources, initialement développées pour les signaux de télécommunication, permettent de décomposer les réponses vibratoires d’une structure en ses différentes contributions modales. L’avantage qui s’ensuit pour l’analyse modale opérationnelle est une identification immédiate des paramètres modaux par application des techniques traditionnelles dédiées aux systèmes à un degré de liberté, et ceci sans connaissance des forces excitatrices appliquées à la structure. L’approche est dite « aveugle », car elle ne nécessite aucune connaissance préalable des paramètres structuraux. Plusieurs publications ont récemment tenté de donner a posteriori une interprétation physique aux méthodes de séparation aveugle de sources, lorsque appliquées en dynamique des structures. Cette communication propose de suivre la démarche inverse en montrant que des critères de séparation inédits et ad hoc peuvent être définis suivant des considérations physiques générales. Trois exemples sont donnés. Le premier critère, dit de « moindre longueur de l’enveloppe », stipule que l’enveloppe d’une réponse modale est la plus courte parmi toutes les trajectoires possibles. L’équation du mouvement qui en découle est obtenue par calcul variationel. Le second critère, dit de « moindre variance spectrale », stipule que la densité spectrale d’une réponse modale est la plus concentrée possible autour d’une fréquence centrale. Enfin, le troisième critère dit de « moindre complexité spectrale » stipule qu’une réponse modale a la plus faible entropie possible dans le domaine fréquentiel. Tous ces critères peuvent être exprimés selon une intégrale de moindre action en fonction de la matrice de mélange qui contient les déformées modales inconnues. L’estimation de celles-ci est solution de leur minimisation. Plusieurs simulations montrent que l’approche proposée donne lieu à des résultats de séparation très similaires à ceux de l’état de l’art, l’avantage principal étant d’être issus de considérations physiques spécifiques à la problématique de l’analyse modale opérationnelle contrairement aux autres méthodes de séparation aveugle de sources.