Dynamics of a fluid inside a precessing cylinder

Dynamique d'un fluide dans un cylindre en précession.

¹ Institut de Recherche sur les Phénomènes Hors Équilibre / Université de Provence, IRPHE – UMR 6594, Technopôle de Château-Gombert, 49, rue Joliot Curie, B.P. 146, 13384 Marseille Cedex 13, France
² Commissariat à l'Énergie Atomique (CEA/CESTA), France

Corresponding author: lagrange@irphe.univ-mrs.fr

Received: 20 April 2009

Abstract

The instability of a fluid inside a precessing cylinder is studied theoretically and experimentally. This study is motivated by aeronautics and geophysics applications. Precessional motion forces hydrodynamics waves called Kelvin modes whose structure and amplitude are predicted by a linear inviscid theory. When a forced Kelvin mode is resonant, a viscous and weakly nonlinear theory has been developed to predict its saturated amplitude. We show that this amplitude scales as Re^1/2 for low Reynolds numbers and as θ^1/3 (where θ is the precessing angle) for high Reynolds numbers. These scalings are confirmed by PIV measurements. For Reynolds numbers sufficiently large, this forced flow becomes unstable. A linear stability analysis based on a triadic resonance between a forced Kelvin mode and two free modes has been carried out. The precessing angle for which the flow becomes unstable is predicted and compared successfully to experimental measurements. A weakly nonlinear theory was developed and allowed to show that the bifurcation of the instability of precession is subcritical. It also showed that, depending on the Reynolds number, the unstable flow can be steady or intermittent. Finally, this weakly nonlinear theory allowed to predict, with a good agreement with experiments, the mean flow in the cylinder; even if it is turbulent.

Résumé

L'instabilité d'un fluide dans un cylindre en précession est étudiée théoriquement et expérimentalement. Les domaines d'application de cette étude se retrouvent en aéronautique et en géophysique. La précession force des ondes hydrodynamiques appelées modes de Kelvin, dont la structure et l'amplitude sont prédites par une théorie linéaire non visqueuse. Quand un mode de Kelvin forcé est résonnant, une théorie visqueuse et faiblement non linéaire a été développée pour prédire la saturation de son amplitude. Nous montrons que cette amplitude varie comme Re^1/2 pour des faibles nombres de Reynolds, et comme θ^1/3 (θ étant l'angle de précession) pour les grands nombres de Reynolds. Ces scalings sont confirmés par des mesures PIV. Pour des nombres de Reynolds suffisamment grands l'écoulement forcé devient instable. Une analyse de stabilité linéaire basée sur un mécanisme de résonance triadique entre le mode de Kelvin forcé et deux modes de Kelvin libres a été développée. L'angle de précession pour lequel l'écoulement devient instable est prédit et confirmé par les expériences. Une théorie faiblement non linéaire a été développée et a permis de montrer que la bifurcation de l'instabilité est sous critique. Cette théorie a également montré qu'en fonction du nombre de Reynolds, l'écoulement instable peut être stationnaire ou intermittent. Finalement cette théorie faiblement non linéaire permet de prédire, en bon accord avec les expériences, l'écoulement moyen dans le cylindre, même lorsque cet écoulement est turbulent.