Méthode de construction de bases spectrales généralisées pour l'approximation de problèmes stochastiques

Construction of generalized spectral bases for the approximate resolution of stochastic problems

Institut de recherche en Génie civil et Mécanique (GeM), Université de Nantes Atlantique, École Centrale de Nantes, UMR CNRS 6183, 2 rue de la Houssinière, BP 92208, 44322 Nantes Cedex 3, France

Auteur de correspondance : anthony.nouy@univ-nantes.fr

Reçu : 15 Mars 2007
Accepté : 7 Juin 2007

Résumé

Les méthodes éléments-finis stochastiques de type Galerkin conduisent généralement à la résolution de problèmes de très grande taille. Les coûts de calcul et de stockage mémoire engendrés limitent encore leur utilisation à une faible dimension stochastique. Nous proposons ici une méthode d'approximation pour la résolution d'équations aux dérivées partielles stochastiques qui tente de répondre à ces difficultés. Cette méthode peut être interprétée comme une technique de décomposition spectrale généralisée. Elle consiste à décomposer la solution sur une base réduite dont on peut prouver l'optimalité vis-à-vis de l'opérateur et du second membre du problème stochastique. Un algorithme adapté est proposé pour la construction de cette décomposition. Il nécessite uniquement la résolution d'un très faible nombre de problèmes déterministes et d'équations stochastiques.

Abstract

Galerkin stochastic finite elements methods, when dealing with high stochastic dimension, lead to the resolution of huge systems of equations. Induced calculation costs and memory requirements still limit their use to a low stochastic dimension. Here, we propose a method which tries to overcome these difficulties. This method can be interpreted as a generalized spectral decomposition technique. It consists in decomposing the solution on a reduced basis, which can be proved to be optimal with respect to the operator and right-hand side of the stochastic problem. An ad hoc algorithm is proposed for the construction of the decomposition. It only needs for the resolution of a very small set of uncoupled deterministic problems and stochastic equations.